První úspěchy se dostavily už na začátku 80. let, kdy skupina dvakrát po sobě získala nejprestižnější cenu na festivalu Porta. Hlavním zpěvákem a frontmanem skupiny byl tehdy Bohouš Chaloupek. V následujících letech ale všichni členové kapely emigrovali do Spojených států a Kanady, v Čechách zůstal jen její zakladatel Miroslav Leicht. Ten se chopil vedení skupiny a sestavil zcela nový Cop. Na začátku 90. let kapela vydala album s názvem Cop 1, které bylo prvním z řady šesti studiových alb, které skupina Cop za dobu svého působení natočila.